数量关系高分秘笈
目录
数量关系读本 1
数量关系公式 1
一、常用计算公式： 1
二、行程问题 2
三、工程问题 3
四、浓度问题 3
五、容斥原理 4
六、利润问题 4
七、几何问题 4
八、其他问题 8
数量关系必备八大思维 9
一、倍数思维 9
二、方程思维 9
三、代入思维 10
四、特值思维 11
五、常识思维 11
六、居中思维 12
七、极限思维 13
八、形式思维 13
数量关系公式
一、常用计算公式：
1、完全平方、平方差
完全平方：（a+b）2=a2+2ab+b2
（a-b）2=a2-2ab+b2
平方差：a2-b2=（a+b）（a-b）
2、完全立方、立方和差
完全立方：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3
立方和差：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）
a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
3、阶乘
n!= 1×2×3×……(n-1) ×n
4、等差数列公式
通项公式：an=a1+（n-1）d
求和公式：Sn=na1+
等差中项：2b=a+c
若a，b，c三个数按这个顺序排成等差数列，那么b叫a，c的等差中项。且满足2b=a+c
5、等比数列公式
通项公式：an=a1×qn-1
求和公式：Sn= （q≠1）
等比中项：b2=ac
若a，b，c三个数按这个顺序排成等比数列，那么b叫a，c的等笔中项。且满足b2=ac。
二、行程问题
路程=速度×时间（s=vt）
等距离平均速度：平均速度=(适用于等距离两段、直线往返、上下坡往返)
1、相遇追及问题
相遇问题：相遇距离=速度和×相遇时间（S相遇=V和T相遇）
追及问题：追及距离=速度差×追及时间（S追及=V差T追及）
环形运动
反向：（第N次相遇路程和为N个周长）环形周长=速度和×相遇时间
同向：（第N次相遇路程差为N个周长）环形周长=速度差×相遇时间
2、多次相遇问题
同一点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程×2N
第N次追上相遇，路程差=全程×2N
左右点出发：第N次迎面相遇，路程和=全程×（2N-1）
第N次追上相遇，路程差=全程×（2N-1）
每个人所走路程=第一次相遇路程×（2N-1）
3、流水行船、电梯问题
流水行船：顺水速度=V船+V水
逆水速度= V船-V水
V船=（顺水速度+逆水速度）÷2
V水=（顺水速度-逆水速度）÷2
4、钟表问题
追及型：T=T0+
三、工程问题
工作总量=工作效率×工作时间（w=pt）
1.给完工时间型——给出多个完工时间：
①赋总量——赋完工时间的公倍数
②算效率——工作效率=工作总量/工作时间
③根据工作过程列式
2.给效率比例型：
①赋效率——满足已知比例即可
②算总量——工作总量=工作效率×工作时间
③根据条件列式
3.给具体单位型
①设未知数
②找等量关系列方程
四、浓度问题
溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量
浓度=溶质质量÷溶液质量
溶液质量=溶质质量÷浓度
溶质质量=溶液质量×浓度
五、容斥原理
1、两集合问题：
标准型：总个数-两者都不满足的个数=满足一项的个数+满足二项的个数-两者都满足的个数（I-M=A+B-A∩B）
2、三集合问题
标准型（题干中出现“既……又……”）：I-M=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
非标准型（题干中出现“满足两项/三项的有……”）：I-M=A+B+C-两者交-2*三者交
六、利润问题
利润率=利润÷成本=（售价-成本）÷成本
售价=进价+利润=进价（1+利润率）
折扣=折扣后/折扣前（降低、折扣都是在售价上完成的）
总利润=单件利润×数量=总收入-总成本
七、几何问题
1、面积计算
正方形面积：S=
长方形面积：S=ab
圆的面积：S=
三角形面积：S=
梯形面积：S=
2、表面积计算
正方体表面积：S=6a2
长方体表面积：S=2（ab+bc+ac）
球体表面积：S=4πR2
圆柱体表面积：S=2πR2+2πRh
3、体积计算
正方体体积：V=
长方体体积：V=abc
球体体积:V=π
圆柱体体积：V=πr2h=Sh
锥体体积：V=Sh(S=)
八、其他问题
1、和差倍比
和倍：-基倍量
差倍： -基倍量
和差问题：大数=
比例问题：= 所占比例
2、牛吃草问题
草的原有总量=（牛数-草长的速度）×时间
引申：原有总量=（快-慢）×时间
3、比赛问题
单循环赛：任意两个队伍比赛一场， N个队伍比赛场次为C2n
双循环赛：任意两个队伍比赛两场，N个队伍比赛场次为A2n
4、植树问题
单边植树、线性植树：总数=+1
环形植树：总数=
楼间植树：总数=-1
数量关系必备八大思维
一、倍数思维
所求量为正整数，且具备倍数特性，可考虑倍数思维。
【例1】一些员工在某工厂车间工作，如果有4名女员工离开车间，在剩余的员工中，女员工人数占九分之五，如果有4名男员工离开车间，在剩余的员工中，男员工人数占三分之一。原来在车间工作的员工共有（ ）名。
A.36
B.40
C.48
D.72
倍数思维：所求量的是总员工数，其满足条件：，由此可得：总-4=9n，那么代入选项仅B选项满足条件，故本题答案为B项。
【例2】某公司三名销售人员 2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的 1.5倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是：（ ）
A. 140万元
B. 144万元
C. 98万
D. 112万元
倍数思维：要求的是甲的销售额，其满足条件：，由此可得：甲=3n，那么代入选项仅B选项满足条件，故本题答案为B项。
二、方程思维
存在等量关系时，可根据等量关系列方程求解。
【例1】去年光明中学的学生比涌泉中学学生的2倍多54人，今年光明中学增加了20人。浦泉中学减少了8人，则光明中学的学生比涌泉中学的学生的4倍少26人。去年光明中学比涌泉中学的学生多（ ）人。
A.115
B.120
C.130
D.125
方程思维：题干中存在明显的等量关系，可设去年涌泉中学学生x人，那么去年光明中学学生（2x+54）人。根据题意：（2x+54）+20=4（x-8）-26，解得x=66，那么2x+54-x=120。故本题答案为B项。
三、代入思维
缺乏思路或求解困难，可考虑代入排除。
【例1】王同学将压岁钱200元按一年期存入某储蓄所，到期后取出100元用来购买衣服，剩下的100元和应得的利息又全部按一年期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共132元，请问这种存款的年利率为（ ）。
A.1/5
B.1/10
C.1/11
D.1/7
代入思维：设年利率为x，根据条件可列方程：[200（1+x）－100]（1+x）=132。求解方程困难，考虑代入选项，B项最好计算，故先代入B项检验，验证正确，故本题答案为B项。
【例2】AB两地相距12千米，船只往返AB两地需4.5小时，已知水速为2千米/小时，若船只自身速度不变，那么船只静水速度是（ ）千米/小时。
A.3
B.4
C.5
D.6
代入思维：设船速为x，可得方程：，求解分式方程困难，考虑代入选项，代入验证D选项符合条件，故本题答案为D项。
四、特值思维
题干变量不影响结果，可考虑设置特值。
【例1】从一瓶浓度为20%的消毒液中倒出2/5后，加满清水，再倒出2/5，又加满清水，此时消毒液的浓度为：
A.7.2%
B.3.2%
C.5.0%
D.4.8%
特值思维：题干中未提及任何与溶液、溶剂、溶质质量相关的数据，说明溶液质量不影响结果，可设溶液质量为100份，那么最初溶质为100×20%=20份。经过两次操作之后，溶质还剩：20×（1-2/5）×（1-2/5）=7.2份，溶液质量不变，所以最终浓度为7.2%。故本题答案为A项。
【例2】木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需要多少小时？
A.47.5
B.50
C.52.5
D.55
特值思维：设加工桌子、凳子、椅子分别需要x小时、y小时、z小时，根据题中等量条件可得方程：①2x+4y=10；②4x+8z=22。显然这是不定方程，且未知量x、y、z可以非整数，那么存在无限组x、y、z满足条件，而所求量10（x+y+z）为固定结果，可知x、y、z取值不影响结果。取x=0，可得y=2.5，z=2.75，所以10（x+y+z）=52.5。故本题答案为C项。
五、常识思维
所求量必然满足生活常识。
【例1】某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人。如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（一人工作一天为1个工作日），且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人：（ ）
A.2
B.60
C.240
D.298
常识思维：总厂人数必然比分厂人数多，所以派出的工人应少于240人，且每天有派人，故派出人数需大于30人。故本题答案为B项。
【例2】一家四口人年龄之和为149岁，其中外公年龄、母亲年龄以及两人的年龄之和都是平方数，而父亲7年前的年龄正好是孩子年龄的6倍。问外公年龄上一次是孩子年龄的整数倍是在几年前？（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
常识思维：母亲年龄是平方数，必然是25岁或36岁。16岁的母亲不符合社会主义主流价值观；1根据母亲和外公年龄和为00岁，可知49岁的母亲不可能有51岁的外公。验证母亲年龄25岁时，外公75岁不合题意，所以母亲年龄为36岁，外公年龄为64岁。再设7年前孩子x岁，那么：6x+7+x+7=49，解得x为5，今年孩子年龄12岁。代入选项，D项符合条件。故本题答案为D项。
六、居中思维
溶液混合时，混合浓度在大小浓度之间
【例1】现有一种浓度为15%的盐水30千克，如果用50千克浓度更高的盐水和它混合，混合后的盐水浓度将大于20%，而小于35%。据此可知，后加入的盐水的浓度（假设浓度为x）范围是：（ ）
A.23%＜x＜47%
B.15%＜x＜35%
C.15%＜x＜23%
D.23%＜x＜50%
居中思维：混合后的盐水浓度大于20%，混合前一种盐水浓度15%，那么另一种盐水浓度必然大于20%，故答案锁定A、D项。代入D项进行验证，若盐水浓度为50%，此时可算出混合盐水浓度约37.5%，超过35%，不合题意。故本题答案为A项。
七、极限思维
利用极限条件限制取值范围
【例1】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，点完细蜡烛需要1小时，点完粗蜡烛需要2小时，有一次停电，将两支蜡烛同时点燃，来电时，发现两蜡烛所剩长度一样，则此次停电共停了多少分钟？（ ）
A.10分钟
B.20分钟
C.40分钟
D.60分钟
极限思维：选项中最长60分钟，细蜡烛已燃烧完毕，明显不行；再考虑30分钟，细蜡烛剩一半，等于初始状态粗蜡烛的高度，必然比现在的粗蜡烛高，因此时间在30-60分钟之间，故本题答案为C项。
【例2】汽车以每小时54千米的速度笔直地开向峭壁，驾驶员按一声喇叭，6秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，问听到回声时，汽车离峭壁的距离是多少米？（ ）
A.975
B.1020
C.1065
D.1155
极限思维：声音跑的路程为：340×6=2040米，路程的一半是1020米，再考虑汽车自身的速度，那么现在汽车离峭壁的距离应小于1020米，故本题答案为A项。
八、形式思维
几何问题常有固定计算公式，可借鉴公式形式选答案。
【例1】将一个边长为1的木质正方体削去多余部分，使其成为一个最大的木质圆球，则削去的体积为多少？
A.π/6
B.1-π/6
C.π2/6
D.1-π2/6
形式思维：削去的体积必然是：正方体体积减去球体体积，所以锁定B、D两项，而几何公式中π从来都是一次方，没有出现过平方，故本题答案为B项。
